Estadistica : regresion lineal

REGRESIÓN LINEAL:

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre unavariable dependiente Y, las variables independientes X_i y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

$Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots +\beta_p X_p + \varepsilon$

Y_t

: variable dependiente, explicada o regresando.

X_1, X_2, \cdots, X_p

: variables explicativas, independientes o regresores.

\beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_p

: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde

\beta_0

es la intersección o término "constante", las

\beta_i \ (i > 0)

son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y

p

es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

MÍNIMOS CUADRÁTICOS:

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.