teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedadesindemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios delsiglo XX.
ejercicios:
25.Consideremos U={a ,b , c ,d , e} como conjunto universal y los subconjuntos
A={a ,b, d}, B={b ,d , e} y C={a ,b , e }. Halla:
A∪B ,
A∪C ,
B∪C ,
B∪B ,
A∩B ,
A∪B∪C,
A∩A,
B∩C ,
A∩B∩C ,
A∩B∩C,
A−B,
A'' ,
C−A,
B−C ,
B−A,
B∩A' ,
A−A,
A' ,
B' ,
A∩C' ,
U ' ,
A∪A' ,
A∩A' ,
∅' ,
A'∪C ' ,
A∪B' ,
A'∩B' ,
B−C' ,
A∪B' ,
B'−A'
26.Idem al anterior, para U={a ,b , c ,d , e , f , g} como conjunto universal y
A={a ,b , c ,d , e }, B={a , c , e , g } y C={b , e , f , g}.
27. Representa en el diagrama de Venn dado al margen los siguientes conjuntos:
A∪B ,
A∪C ,
B∪C ,
B∪B ,
A∩B ,
A∩A,
B∩C ,
A∩B∩C ,
A∩B∩C,
A−B,
A'' ,
C−A,
B−C ,
B−A,
B∩A' ,
A−A,
A' ,
B' ,
A∩C' ,
U ' ,
A∪A' ,
A∩A' ,
∅' ,
A'∪C ' ,
A∪B' ,
A'∩B' ,
B−C' ,
A∪B' ,
B'−A'
permutacion y combinación:
En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
Combinaciones:
Para calcular el número de combinaciones se aplica la siguiente fórmula:
El termino " n ! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los números que van desde "n" hasta 1.
Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
La expresión "Cm,n" representa las combinaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos.
Ejemplo: C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:
Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.
b) Variaciones:
Para calcular el número de variaciones se aplica la siguiente fórmula:
La expresión "Vm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos. En este caso, como vimos en la lección anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, bien por los elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos.
Ejemplo: V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:
Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.
Probabilidad
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
